古代哲学家老子曾说过："道生一，一生二，二生三，三生万物."若要深刻认识数学中的一般性问题，为何不是从"一"开始？这时的"一"当为事物的特殊性.
从特殊到一般的思想表现在：从简单情形去认识复杂事物，能使抽象的数学命题变的具体而简单，由简单情形作为起点，犹如一面镜子，可为一般情形提供对比，在对比中解决问题，在变化中把握趋势，在特殊中窥见一般，从而破解难题，甚至产生伟大的发现！这个貌似平凡却威力不小的方法，正是来源于"特殊"和"一般"之间的特殊的关系.
1．某班级在探究"将军饮马问题"时抽象出数学模型：
直线l同旁有两个定点A、B，在直线l上存在点P，使得PA+PB的值最小．解法：如图1，作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，则A′B与直线l的交点即为P，且PA+PB的最小值为A′B．
请利用上述模型解决下列问题：
（1）几何应用：如图2，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，E是AB的中点，P是BC边上的一动点，则PA+PE的最小值为_____；
（3）几何拓展：如图3，△ABC中，AC＝2，∠A＝30°，若在AB、AC上各取一点M、N使CM+MN的值最小，最小值是_____．
【解析】（1）如图2，作点E关于直线BC的对称点E′，连接E′A，则E′A与直线BC的交点即为P，且PA+PE的最小值为E′A，
作E′F⊥AC交AC的延长线于F，由题意得，E′F＝1，AF＝3，
∴所求代数式的最小值是5；
（3）如图3，作点C关于直线AB的对称点C′，作C′N⊥AC于N交AB于M，连接AC′，则C′A＝CA＝2，∠C′AB＝∠CAB＝30°，
∴△C′AC为等边三角形，
∴CM+MN的最小值为C′N＝√3，故答案为：√3．
2．阅读理解：
【问题情境】钱老师给"数学小达人"小明和小军提出这样一个问题：如图1，△ABC中，∠B＝2∠C，AD是∠BAC的平分线．求证：AB+BD＝AC；
【证明思路】小明的证明思路是：如图2，在AC上截取AE＝AB，连接DE．……
小军的证明思路是：如图3，延长CB至点E，使BE＝AB，连接AE．可以证得：AE＝DE．……
请你从他们的思路中，任意选择一种思路继续完成下一步的证明；
【变式探究】如图4，金老师把"AD是∠BAC的平分线"改成"AD是BC边上的高"，其它条件不变，那么AB+BD＝AC还成立吗？若成立，请证明；若不成立，写出正确结论，并说明理由；
【解析】【证明思路】
小明的证明思路是：如图2，在AC上截取AE＝AB，连接DE．
∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD＝∠EAD．
在△ABD和△AED中，AB=AE, ∠BAD＝∠EAD,AD=AD.
∴△ABD≌△AED（SAS），
∴BD＝DE，∠ABD＝∠AED，
∵∠AED＝∠EDC+∠C，∠B＝2∠C，
∴∠EDC＝∠C，∴DE＝EC，即AB+BD＝AC；
小军的证明思路是：如图3，延长CB至点E，使BE＝AB，连接AE．
∴∠E＝∠BAE．
∵∠ABC＝∠E+∠BAE，∴∠ABC＝2∠E．
∵∠ABC＝2∠C，∴∠E＝∠C，
∴△AEC是等腰三角形．
∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD＝∠DAC．
∵∠ADE＝∠DAC+∠C，∠DAE＝∠BAD+∠BAE
∴∠ADE＝∠DAE，∴EA＝ED＝AC，
∴AB+BD＝ED＝AE＝AC；
【变式探究】
AB+BD＝AC不成立，正确结论：AB+BD＝CD；
理由：如图4，在CD上截取DE＝DB，连结AE，
∵AD⊥BC，∴AD是BE的中垂线，
∴AE＝AB，∴∠B＝∠AED．
∵∠AED＝∠C+∠CAE，且∠B＝2∠C，
∴∠C＝∠CAE，∴AE＝EC，∴AE＝EC＝AB
∴AB+BD＝CE+DE＝CD；
【迁移拓展】
证明：如图5，过点A作AD⊥BC于D．由勾股定理得：AB2＝BD2+AD2，AC2＝CD2+AD2，
∴AC²﹣AB²＝CD²﹣BD²＝（CD+BD）（CD﹣BD）＝BC（CD﹣BD）
∵AB+BD＝CD，∴CD﹣BD＝AB，
∴AC²﹣AB²＝BC（CD﹣BD）＝BC×AB，
3．我们可以通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整
原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，连接EF，则EF＝BE+DF，试说明理由．
（1）思路梳理
∵AB＝AD，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合．
∵∠ADC＝∠B＝90°，
∴∠FDG＝180°，点F、D、G共线．
根据_____，易证△AFE≌____，得EF＝BE+DF．
（2）类比引申
如图2，四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF＝45°．若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足等量关系____时，仍有EF＝BE+DF．
（3）联想拓展
如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE＝45°．猜想BD、DE、EC应满足的等量关系，并写出推理过程．
【解析】（1）思路梳理
∵AB＝AD，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，如图1，
∵∠ADC＝∠B＝90°，
∴∠FDG＝180°，点F、D、G共线，
则∠DAG＝∠BAE，AE＝AG，BE＝DG，
∠FAG＝∠FAD+∠GAD＝∠FAD+∠BAE＝90°﹣45°＝45°＝∠EAF，
即∠EAF＝∠FAG，
在△EAF和△GAF中，AF=AF, ∠EAF＝∠FAG，,AE=AG，
∴△AFG≌△AFE（SAS），
∴EF＝FG＝DG+DF＝BE+DF；
故答案为：SAS；△AFG；
（2）类比引申
∠B+∠ADC＝180°时，EF＝BE+DF；理由如下：
∵AB＝AD，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，如图2所示：
∴∠BAE＝∠DAG，BE＝DG，
∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠DAF＝45°，∴∠EAF＝∠FAG，
∵∠ADC+∠B＝180°，
∴∠FDG＝180°，点F、D、G共线，
在△AFE和△AFG中，AE=AG, ∠EAF＝∠FAG，AF=AF，
∴△AFE≌△AFG（SAS），∴EF＝FG，
∵FG＝DG+DF，∴EF＝BE+DF，
故答案为：∠B+∠ADC＝180°；
（3）联想拓展
猜想：DE2＝BD2+EC2．理由如下：
把△ACE绕点A逆时针旋转90°到ABF的位置，连接DF，如图3所示：
则△ABF≌△ACE，∠FAE＝90°，
∴∠FAB＝∠CAE．BF＝CE，∠ABF＝∠C，
∴∠FAE＝∠BAC＝90°，
∵∠DAE＝45°，
∴∠FAD＝90°﹣45°＝45°，
∴∠FAD＝∠DAE＝45°，
在△ADF和△ADE中，AF=AE, ∠FAD＝∠DAE,AD=AD，
∴△ADF≌△ADE（SAS），
∴DF＝DE，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝45°，
∴∠C＝∠ABF＝45°，
∴∠DBF＝∠ABF+∠ABC＝90°，
∴△BDF是直角三角形，
∴BD²+BF²＝DF²，
∴BD²+EC²＝DE²．
4．问题：如图1，在平行四边形ABCD中，点E是BC边的中点，连结AE，点F是线段AE上一点，连结BF并延长，交射线CD于点G．若AF：EF＝4：1，求CD/CG的值．
（1）尝试探究：
如图1，过点E作EH∥AB交BG于点H，则AB和EH的数量关系是．CG和EH的数量关系是，因此CD/CG＝______．
（2）类比延伸：
在原题的条件下，若把"AF：EF＝4：1"改为"AF：EF＝n：1"（n＞0），求CD/CG的值．（用含有n的式子表示）
（3）拓展迁移：
如图2，在四边形ABCD中，CD∥AB，点E是BC的延长线上的一点，AE与BD相交于点F．若AB：CD＝a：1（a＞0），BC：BE＝b：1（b＞0），则AF/AE＝_____．（直接用含有a、b的式子表示，不写解答过程）
【解答】（1）依题意，过点E作EH∥AB交BG于点H，如右图1所示．
则有△ABF∽△EHF，
∴AB/EH=AF/EF=4，∴AB＝4EH．
∵▱ABCD，EH∥AB，∴EH∥CD，
又∵E为BC中点，
∴EH为△BCG的中位线，
∴CG＝2EH．CD/CG=AB/CG＝2．
故答案为：2．
（2）如右图2所示，作EH∥AB交BG于点H，则△EFH∽△AFB．
∴AB/EF=AF/EF＝n，∴AB＝nEH．
∵AB＝CD，∴CD＝nEH．
∵EH∥AB∥CD，∴△BEH∽△BCG．
∴CG/EH=BC/BE=2，∴CG＝2EH．
∴CD/CG=n EN/2EH=n/2．
（3）如右图3所示，过点E作EH∥AB交BD的延长线于点H，则有EH∥AB∥CD．
∵EH∥CD，∴△BCD∽△BEH，
∴CD/EH=BC/BE＝b，∴CD＝bEH．
又AB/CD＝a，
∴AB＝aCD＝abEH．
∵EH∥AB，∴△ABF∽△EHF，
∴AF/EF=AB/EH=abEH/EH＝ab，
故答案为：ab．
【点评】本题的设计独具匠心：由平行四边形中的一个特殊的例子出发（第1问），推广到平行四边形中的一般情形（第2问），最后再通过类比、转化到梯形中去（第3问）．各种图形虽然形式不一，但运用的解题思想与解题方法却是一以贯之：即通过构造相似三角形，得到线段之间的比例关系，这个比例关系均统一用同一条线段来表达，这样就可以方便地求出线段的比值．本题体现了初中数学的类比、转化、从特殊到一般等思想方法，有利于学生触类旁通、举一反三．
几何类比推理问题，要根据从特殊到一般再到特殊的过程，探究题目内在不变条件和结构，变化的条件是变在什么地方，最主要的着手点还是从书本的条件和结构开始，像这个问题就是从角平分线的定理开始入手，作垂线辅助线，然后顺藤摸瓜，找全等，转化相等线段，在找等腰三角形三线合一的结构，再进一步找边长关系，利用特殊角度和长度关系来得出想要的结论，另外一个问题的设计也是有一个主题的，不要把前后小问割裂开，要先从前面特殊问题做法模仿入手考虑，找相同思路，如遇中间无法转化的时候，再看是哪些条件发生了变化，对我们的问题有什么影响，从而进一步解决和思考！
可以说，几何类比探究问题是一段从特殊到一般的思维之旅，动静之间，我们找到了变与不变的真谛与反应，这或许是人生的折射.
