解答题已知函数f（x）=2cosx（sinx-cosx）+1 x∈R．（Ⅰ）?求函数f

问题补充：

解答题已知函数f（x）=2cosx（sinx-cosx）+1，x∈R．

（Ⅰ）?求函数f（x）的最小正周期；

（Ⅱ）?求函数f（x）的最小值和最大值，及取得最值时对应的x的集合．

（Ⅲ）?求函数的单调区间．

答案：

解：（Ⅰ）∵f（x）=2sinxcosx-2cos2x+1

=sin2x-cos2x-1+1

=sin（2x-）

∴T==π；

（Ⅱ）最小值为-，

当2x-=2kπ-，即x=kπ-（k∈Z）时，f（x）取得最小值-；

∴此时x的取值集合为：{x|x=kπ-，k∈Z}；

最大值为，

当2x-=2kπ+，即x=kπ+（k∈Z）时，f（x）取得最大值；

∴此时x的取值集合为：{x|x=kπ+，k∈Z}；

（Ⅲ）由-+2kπ≤2x-≤+2kπ，k∈Z

得：kπ-≤x≤kπ+，k∈Z，

∴f（x）的单调递增区间为[kπ-，kπ+]，k∈Z

同理可求，f（x）的单调递减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．解析分析：（Ⅰ）利用三角函数间的关系式可将f（x）化简为f（x）=sin（2x-），可求得函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）由正弦函数的性质可求得f（x）的最小值和最大值，由2x-=2kπ-可求得f（x）取最大值时对应的x的集合，同理可求f（x）取最小值时对应的x的集合；（Ⅲ）利用正弦函数的单调性即可求得函数的单调区间．点评：本题考查三角函数间的关系式，考查正弦函数的性质，着重考查正弦函数的周期性、单调性、最值，属于中档题．