已知函数 设g（x）=x2?f'（x）（x＞0）（1）是否存在唯一实数a∈（m m+1） 使得g

问题补充：

已知函数，设g（x）=x2?f（x）（x＞0）

（1）是否存在唯一实数a∈（m，m+1），使得g（a）=0，若存在，求正整数m的值；若不存在，说明理由．

（2）当x＞0时，f（x）＞n恒成立，求正整数n的最大值．

答案：

解：（1）由，得??g（x）=x-1-ln（x+1）（x＞0），

则，因此g（x）在（0，+∞）内单调递增．（4分）

因为g（2）=1-ln3＜0，g（3）=2（1-ln2）＞0，

即g（x）=0存在唯一的根a∈（2，3），于是m=2，（6分）

（2）由f（x）＞n得，n＜f（x）且x∈（0，+∞）恒成立，

由第（1）题知存在唯一的实数a∈（2，3），使得g（a）=0，且当0＜x＜a时，g（x）＜0，f′（x）＜0；

当x＞a时，g（x）＞0，f′（x）＞0，

因此当x=a时，f（x）取得最小值（9分）

由g（a）=0，得?a-1-ln（a+1）=0，即??1+ln（a+1）=a，于是??f（a）=a+1

又由a∈（2，3），得f（a）∈（3，4），从而n≤3，故正整数n的最大值为3．（12分）

解析分析：（1）先对f（x）求导，得出g（x）=x-1-ln（x+1），再利用零点存在性定理可以研究g（x）的零点情况，做出解答．（2）当x＞0时，f（x）＞n恒成立，需考察f（x）的最小值情况．由第（1）题知存在唯一的实数a∈（2，3），使得g（a）=0，且当0＜x＜a时，g（x）＜0，f′（x）＜0；当x＞a时，g（x）＞0，f′（x）＞0，因此当x=a时，f（x）取得最小值．利用g（a）=0，得?出?f（a）=a+1，结合a∈（2，3）得出f（a）∈（3，4），从而n≤3，故正整数n的最大值为3．

点评：本题考查了函数单调性与导数的应用：求最值，零点、恒成立问题．考察转化、计算、推理论证能力．

已知函数 设g（x）=x2?f（x）（x＞0）（1）是否存在唯一实数a∈（m m+1） 使得g（a）=0 若存在 求正整数m的值；若不存在 说明理由．（2）当x＞0