已知函数．（1）是否存在实数a使得f（x）为奇函数？若存在 求出a的值并证明；若不存

问题补充：

已知函数．

（1）是否存在实数a使得f（x）为奇函数？若存在，求出a的值并证明；若不存在，说明理由；

（2）在（1）的条件下判断f（x）的单调性，并用定义加以证明．

答案：

解：（1）存在a使得函数f（x）为奇函数．

证明：假设存在这样的a的值，∵函数f（x）的定义域为实数集R，∴f（0）=0，∴，解得a=1．

当a=1时，f（x）=．

∵==-f（x），

∴a=1时，函数f（x）为奇函数．

（2）在（1）的条件下，f（x）===在实数集R上单调递增．

证明：?x1＜x2，

则f（x1）-f（x2）==

=，

∵x1＜x2，∴，，．

∴f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）

∴函数f（x）在R上单调递增．

解析分析：（1）利用函数的奇偶性即可判断出；（2）先判断函数的单调性，再利用函数的单调性的定义即可证明其单调性．

点评：熟练掌握函数的奇偶性和单调性是解题的关键．

已知函数．（1）是否存在实数a使得f（x）为奇函数？若存在 求出a的值并证明；若不存在 说明理由；（2）在（1）的条件下判断f（x）的单调性 并用定义加以证明．