问题补充:
如图,正方形ABCD中,E是BC边上一点,以E为圆心、EC为半径的半圆与以A为圆心,AB为半径的圆弧外切,则S四边形ADCE:S正方形ABCD的值为________.
答案:
解析分析:过点E作EF垂直于AD,交AD于点F,设EC=x,AB=y,由ABCD为正方形得到四条边相等,四个角为直角,利用三个角为直角的四边形为矩形得到DCEF为矩形,根据矩形的性质得到CE=DF,EF=DC,由AD-DF=AD-EC=y-x,再由两半圆外切,得到两圆心距等于两半径相加,可得出AE=x+y,在直角三角形AEF中,利用勾股定理列出关系式,整理后得到y=4x,由四边形AECD为直角梯形,利用直角梯形的面积公式表示出梯形AECD的面积,再利用正方形的面积公式表示出ABCD的面积,将x=y代入,整理后即可求出所求的比值.
解答:过E作EF⊥AD,交AD于点F,如图所示:
可得∠EFA=90°,
设EC=x,AB=y,
∵四边形ABCD为正方形,
∴AD=AB=BC=CD=y,∠ADC=∠DAB=∠ABC=∠BCD=90°,
∴DFEC为矩形,
∴EF=DC=y,AF=AD-DF=AD-CE=y-x,
∵圆E与圆A外切,
∴AE=x+y,
在Rt△AEF中,根据勾股定理得:AE2=EF2+AF2,
即(x+y)2=y2+(y-x)2,
整理得:y=4x,即x=y,
∴S梯形ADCE=(EC+AD)?CD=y(x+y)=y2,S正方形ABCD=y2,
则S四边形ADCE:S正方形ABCD=y2:y2=.
故
如图 正方形ABCD中 E是BC边上一点 以E为圆心 EC为半径的半圆与以A为圆心 AB为半径的圆弧外切 则S四边形ADCE:S正方形ABCD的值为________.