问题补充:
在直角三角形ABC中,∠ACB=90°,△ABC的内切圆O分别与边BC,CA,AB相切于点D,E,F,连接AD,与内切圆O相交于点P,连接BP,CP,若∠BPC=90°,求证:AE+AP=PD.
答案:
证明:设AE=AF=x,BD=BF=y,CD=CE=z,AP=m,PD=n.
因为∠ACP+∠PCB=90°=∠PBC+∠PCB,所以∠ACP=∠PBC.
延长AD至Q,使得∠AQC=∠ACP=∠PBC,连接BQ,CQ,则P,B,Q,C四点共圆,令DQ=l,
则由相交弦定理和切割线定理可得yz=nl,①x2=m(m+n).②
因为△ACP∽△AQC,所以,
故(x+z)2=m(m+n+l).③
在Rt△ACD和Rt△ACB中,由勾股定理得(x+z)2+z2=(m+n)2,④
(y+z)2+(z+x)2=(x+y)2.⑤
③-②,得z2+2zx=ml,⑥
①÷⑥,得,
所以,⑦
②×⑦,结合④,得,
整理得.⑧
又⑤式可写为,⑨
由⑧,⑨得⑩
又⑤式还可写为,
把上式代入⑩,消去y+z,得3x2-2xz-2z2=0,
解得,代入得,,
将上面的x,y代入④,得,
结合②,得,
从而,
所以,x+m=n,即AE+AP=PD.
解析分析:延长AD至Q,使得∠AQC=∠ACP=∠PBC,连接BQ,CQ,利用相交弦定理和切割线定理即可利用CD表示出AE与AP、PD的长,即可证明.
点评:本题是相交弦定理,切割线定理的综合应用,正确利用CD表示出AE与AP、PD的长是解题的关键.
在直角三角形ABC中 ∠ACB=90° △ABC的内切圆O分别与边BC CA AB相切于点D E F 连接AD 与内切圆O相交于点P 连接BP CP 若∠BPC=90