问题补充:
一直线过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F,且交抛物线于A,B两点,C为抛物线准线的一点.
(1)求证:∠ACB不可能是钝角;
(2)是否存在这样的点C,使得△ABC为正三角形?若存在,请求出点C的坐标;若不存在,请说明理由.
答案:
解:设,
直线AB方程为
由,得:y2-2pty-p2=0,
则
∴.
,
∴
∴不可能为钝角,
故∠ACB不可能是钝角
(2)假设存在点C,使得△ABC为正三角形
由(1)得:线段AB的中点为
①若直线AB的斜率不存在,这时t=0,,
点C的坐标只可能是,由,
得:,矛盾,于是直线AB的斜率必存在.
②由CM⊥AB,得:kCM?kAB=-1,
即,
∴m=pt3+2pt,
∴,|AB|=2p(t2+1),
由,得:,
∴
故存在点,使得△ABC为正三角形.
解析分析:(1)设,直线AB方程为,由得:y2-2pty-p2=0,由此能够证明∠ACB不可能是钝角(2)假设存在点C,使得△ABC为正三角形.由(1)得:线段AB的中点为,由此能够推导出存在点,使得△ABC为正三角形.
点评:本题考查角不能为钝角的证明,判断是否存在满足条件的点使得三角形为正三角形.具体涉及到抛物线的简单性质,直线和抛物线的位置关系,是难题.
一直线过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F 且交抛物线于A B两点 C为抛物线准线的一点.(1)求证:∠ACB不可能是钝角;(2)是否存在这样的点C 使得△ABC为