问题补充:
已知椭圆(a>b>0)的两个焦点分别为F1,F2,离心率为,过F1的直线l与椭圆C交于M,N两点,且△MNF2的周长为8.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过原点O的两条互相垂直的射线与椭圆C分别交于A,B两点,证明:点O到直线AB的距离为定值,并求出这个定值.
答案:
解:(I)由题意知,4a=8,所以a=2.
因为,
所以,
所以b2=3.
所以椭圆C的方程为.
(II)由题意,当直线AB的斜率不存在,此时可设A(x0,x0),B(x0,-x0).
又A,B两点在椭圆C上,
所以,.
所以点O到直线AB的距离.
当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=kx+m.
由消去y得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0.
由已知△>0,设A(x1,y1),B(x2,y2).
所以,.
因为OA⊥OB,所以x1x2+y1y2=0.
所以x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=0,即.
所以.
整理得7m2=12(k2+1),满足△>0.
所以点O到直线AB的距离为定值.
解析分析:(Ⅰ)由△MNF2的周长为8,得4a=8,由,得,从而可求得b;(Ⅱ)分情况进行讨论:由题意,当直线AB的斜率不存在,此时可设A(x0,x0),B(x0,-x0),再由A、B在椭圆上可求x0,此时易求点O到直线AB的距离;当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=kx+m,代入椭圆方程消掉y得x的二次方程,知△>0,由OA⊥OB,得x1x2+y1y2=0,即x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=0,整理后代入韦达定理即可得m,k关系式,由点到直线的距离公式可求得点O到直线AB的距离,综合两种情况可得结论,注意检验△>0.
点评:本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆方程的求解,考查学生分析解决问题的能力,弦长公式、韦达定理是解决该类问题的常用知识,要熟练掌握.
已知椭圆(a>b>0)的两个焦点分别为F1 F2 离心率为 过F1的直线l与椭圆C交于M N两点 且△MNF2的周长为8.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)过原点O的两条互