问题补充:
已知椭圆,过右焦点F斜率为的直线与椭圆C交于A、B两点,若,则椭圆C的离心率为A.B.C.D.
答案:
D
解析分析:设 =3m,=m,故|AB|=4m.由椭圆的第二定义可得|AD|=,|BC|=,求得|AE|=.由AB的斜率tan∠BAE=,可得cos∠BAE 的值,再由cos∠BAE=?求出e的值.
解答:如图所示:过点A作AD垂直于右准线,垂足为D;过点B作BC垂直于右准线,垂足为C;过点B作BE垂直于AD,垂足为E.因为 ,可设 =3m,=m,故|AB|=4m.由椭圆的第二定义可得|AD|=,|BC|=,|AE|=|AD|-|ED|=|AD|-|BC|=.由于直线AB的斜率等于,∴tan∠BAE=,∴cos∠BAE=.直角三角形ABE中,cos∠BAE====,解得离心率e=,故选:D.
点评:本题考查椭圆的第二定义、椭圆的标准方程,以及椭圆的简单性质的应用,直角三角形中的边角关系,体现了数形结合的数学思想,属于中档题.