问题补充:
已知椭圆(a>b>0)的离心率为.斜率为k(k≠0)的直线?过椭圆的上焦点且与椭圆相交于P,Q两点,线段PQ的垂直平分线与y轴相交于点M(0,m),且当k=1时,下焦点到直线?的距离为.
(1)求椭圆的方程;
(2)求m的取值范围.
答案:
解:(1)依题意可得,下焦点坐标为(0,-c),上焦点坐标为(0,c),直线方程为y=x+c
∵下焦点到直线?的距离为,∴,∴c=1
∵,可得
∴b=1
所以椭圆方程为
(2)设直线的方程为y=kx+1
由可得(k2+2)x2+2kx-1=0
设P(x1,y1),Q(x2,y2)
则,
可得
设线段PQ中点为N,则点N的坐标为
由题意有kMN?k=-1
可得,可得
∵k≠0,∴
解析分析:(1)根据k=1时,下焦点到直线?的距离为,可求得c=1,利用离心率为,可求得a=,从而可求椭圆的方程;(2)设直线的方程为y=kx+1,与椭圆方程联立,借助于线段PQ的垂直平分线与y轴相交于点M(0,m),设线段PQ中点为N,从而有kMN?k=-1,由此可求m的取值范围.
点评:本题以椭圆的几何性质为载体,考查椭圆的标准方程,考查直线与椭圆的位置关系,解题的关键是借助于线段PQ的垂直平分线与y轴相交于点M(0,m),设线段PQ中点为N,从而有kMN?k=-1
已知椭圆(a>b>0)的离心率为.斜率为k(k≠0)的直线?过椭圆的上焦点且与椭圆相交于P Q两点 线段PQ的垂直平分线与y轴相交于点M(0 m) 且当k=1时 下焦