问题补充:
如图①,△ABC中,AB=AC,∠B、∠C的平分线交于O点,过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F.
(1)图中有几个等腰三角形?猜想:EF与BE、CF之间有怎样的关系,并说明理由.
(2)如图②,若AB≠AC,其他条件不变,图中还有等腰三角形吗?如果有,分别指出它们.在第(1)问中EF与BE、CF间的关系还存在吗?
(3)如图③,若△ABC中∠B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O,过O点作OE∥BC交AB于E,交AC于F.这时图中还有等腰三角形吗?EF与BE、CF关系又如何?说明你的理由.
答案:
解:(1)图中有5个等腰三角形,
EF=BE+CF,
∵△BEO≌△CFO,且这两个三角形均为等腰三角形,
可得EF=EO+FO=BE+CF;
(2)还有两个等腰三角形,为△BEO、△CFO,
如下图所示:∵EF∥BC,
∴∠2=∠3,
又∵∠1=∠2,
∴∠1=∠3,
∴△BEO为等腰三角形,在△CFO中,同理可证.
∴EF=BE+CF存在.
(3)有等腰三角形:△BEO、△CFO,此时EF=BE-CF,
∵如下图所示:OE∥BC,∴∠5=∠6,
又∠4=∠5,∴∠4=∠6,
∴△BEO是等腰三角形,
在△CFO中,同理可证△CFO是等腰三角形,
∵BE=EO,OF=FC,
∴BE=EF+FO=EF+CF,
∴EF=BE-CF
解析分析:(1)△ABC,△OBC,△EBO,△CFO,△AEF一共5个等腰三角形,同时可证△BEO≌△CFO,可得EF=EO+FO=BE+CF;
(2)由EF∥BC,可得∠2=∠3,又∠1=∠2,∴∠1=∠3,所以△BEO为等腰三角形,在△CFO中,同理可证;
(3)由于OE∥BC,可得∠5=∠6,又∠4=∠5,∴∠4=∠6,∴△BEO是等腰三角形,在△CFO中,同理可证△CFO是等腰三角形,
点评:本题考查了等腰三角形的判定与性质,比较综合,难度较大,关键灵活运用等腰三角形的性质.
如图① △ABC中 AB=AC ∠B ∠C的平分线交于O点 过O点作EF∥BC交AB AC于E F.(1)图中有几个等腰三角形?猜想:EF与BE CF之间有怎样的关系