问题补充:
如图,抛物线y=ax2+bx(a>0)与双曲线y=相交于点A,B.已知点B的坐标为(-2,-2),点A在第一象限内,且tan∠AOx=4.过点A作直线AC∥x轴,交抛物线于另一点C.
(1)求双曲线和抛物线的解析式;
(2)计算△ABC的面积;
(3)在抛物线上是否存在点D,使△ABD的面积等于△ABC的面积?若存在,请你写出点D的坐标;若不存在,请你说明理由.
答案:
解:(1)把点B(-2,-2)的坐标,代入y=,
得:-2=,
∴k=4.
即双曲线的解析式为:y=.
设A点的坐标为(m,n).
∵A点在双曲线上,
∴mn=4.①
又∵tan∠AOx=4,
∴=4,即n=4m.②
由①②,得:m2=1,
∴m=±1.
∵A点在第一象限,
∴m=1,n=4,
∴A点的坐标为(1,4)
把A、B点的坐标代入y=ax2+bx,得:,
解得a=1,b=3.
∴抛物线的解析式为:y=x2+3x;
(2)∵AC∥x轴,
∴点C的纵坐标y=4,
代入y=x2+3x,得方程x2+3x-4=0,
解得x1=-4,x2=1(舍去).
∴C点的坐标为(-4,4),且AC=5,
又∵△ABC的高为6,
∴△ABC的面积=×5×6=15;
(3)存在D点使△ABD的面积等于△ABC的面积.
过点C作CD∥AB交抛物线于另一点D.
∵△ABD与△ABC同底等高,
∴△ABD的面积等于△ABC的面积,
因为直线AB相应的一次函数是:y=2x+2,且C点的坐标为(-4,4),CD∥AB,
所以直线CD相应的一次函数是:y=2x+12.
解方程组,
∴x2+3x=2x+12,
即x=3或x=-4,
当x=3时,y=18,
当x=-4时,y=4,
∴或(不合题意,舍去),
所以点D的坐标是(3,18).
解析分析:(1)根据已知条件可以推出A点的坐标,把A、B两点的坐标代入抛物线解析式和双曲线解析式,即可得出a、b、k的值,就可以确定双曲线和抛物线的解析式了;
(2)根据A、B抛物线解析式,可以确定C点的坐标,即可去顶AC和AC边上的高的长度,就可以计算出△ABC的面积了;
(3)根据题意画出图形,根据A、B两点坐标出去直线AB相应的一次函数结合C点的坐标,CD∥AB,得出直线CD相应的一次函数,然后结合D点也在抛物线上,解方程组,求D点坐标.
点评:本题是二次函数的综合题型,其中涉及到的知识点:根据点的坐标求抛物线解析式、双曲线解析式以及三角形的面积求法.关键在于根据点的坐标和相关的知识点求抛物线解析式,双曲线解析式和直线解析式.
如图 抛物线y=ax2+bx(a>0)与双曲线y=相交于点A B.已知点B的坐标为(-2 -2) 点A在第一象限内 且tan∠AOx=4.过点A作直线AC∥x轴 交抛