问题补充:
如图,在△ABC中,AB=BC=2,以AB为直径的⊙O分别交BC、AC于点D、E,且点D为BC的中点.
(1)求证:△ABC为等边三角形;
(2)求DE的长;
(3)在线段AB的延长线上是否存在一点P,使△PBD≌△AED?若存在,请求出PB的长;若不存在,请说明理由.
答案:
(1)证明:连接AD,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°.
∵点D是BC的中点,
∴AD是线段BC的垂直平分线,
∴AB=AC,
∵AB=BC,
∴AB=BC=AC,
∴△ABC为等边三角形.
(2)解:连接BE.
∵AB是直径,
∴∠AEB=90°,
∴BE⊥AC,
∵△ABC是等边三角形,
∴AE=EC,即E为AC的中点,
∵D是BC的中点,故DE为△ABC的中位线,
∴DE=AB=×2=1.
(3)解:存在点P使△PBD≌△AED,
由(1)(2)知,BD=ED,
∵∠BAC=60°,DE∥AB,
∴∠AED=120°,
∵∠ABC=60°,
∴∠PBD=120°,
∴∠PBD=∠AED,
要使△PBD≌△AED;
只需PB=AE=1.
解析分析:(1)连接AD,利用直径所对的圆周角为直角及垂直平分线的性质得到相等的线段AB=AC,联立已知的AB=BC,即可证得△ABC是等边三角形;
(2)连接BE,利用直径所对的圆周角为直角,得到BE⊥AC,然后利用等腰三角形三线合一的性质得出E为AC的中点,继而利用三角形中位线的数量关系求得DE的长度;
(3)根据等边三角形的性质,可以证得△PBD和△AED有一组边DE=BD和一对角∠PBD=∠AED对应相等,所以只要再满足这组角的另一夹边对应相等就可以了.
点评:此题考查的知识点有:圆周角定理、等边三角形的判定、三角形中位线定理以及全等三角形的判定和性质,难度较大.
如图 在△ABC中 AB=BC=2 以AB为直径的⊙O分别交BC AC于点D E 且点D为BC的中点.(1)求证:△ABC为等边三角形;(2)求DE的长;(3)在线段