问题补充:
如图,四边形ABCD是矩形,点P是直线AD与BC外的任意一点,连接PA、PB、PC、PD.请解答下列问题:
(1)如图1,当点P在线段BC的垂直平分线MN上(对角线AC与BD的交点Q除外)时,证明△PAC≌△PDB;
(2)如图2,当点P在矩形ABCD内部时,求证:PA2+PC2=PB2+PD2;
(3)若矩形ABCD在平面直角坐标系xOy中,点B的坐标为(1,1),点D的坐标为(5,3),如图3所示,设△PBC的面积为y,△PAD的面积为x,求y与x之间的函数关系式.
答案:
解:(1)作BC的中垂线MN,在MN上取点P,连接PA、PB、PC、PD,
如图(1)所示,∵MN是BC的中垂线,
∴PA=PD,PC=PB,
又∵四边形ABCD是矩形,
∴AC=DB,
即,
∴△PAC≌△PDB(SSS),
(2)证明:过点P作KG∥BC,如图(2)
∵四边形ABCD是矩形,
∴AB⊥BC,DC⊥BC
∴AB⊥KG,DC⊥KG,
∴在Rt△PAK中,PA2=AK2+PK2
同理,PC2=CG2+PG2;PB2=BK2+PK2,PD2=+DG2+PG2
PA2+PC2=AK2+PK2+CG2+PG2,PB2+PD2=BK2+PK2+DG2+PG2
AB⊥KG,DC⊥KG,AD⊥AB,可证得四边形ADGK是矩形,
∴AK=DG,同理CG=BK,
∴AK2=DG2,CG2=BK2
∴PA2+PC2=PB2+PD2
(3)∵点B的坐标为(1,1),点D的坐标为(5,3)
∴BC=4,AB=2,
∴S矩形ABCD=4×2=8,
直线HI垂直BC于点I,交AD于点H,
当点P在直线AD与BC之间时,
S△PAD+S△PBC=BC?HI=4,
即x+y=4,因而y与x的函数关系式为y=4-x,
当点P在直线AD上方时,S△PBC-S△PAD=BC?HI=4,
而y与x的函数关系式为y=4+x,
当点P在直线BC下方时,S△PAD-S△PBC=BC?HI=4,
y与x的函数关系式为y=x-4.
解析分析:(1)利用三角形三边关系对应相等得出△PAC≌△PDB即可;
(2)利用已知可证得四边形ADGK是矩形,进而得出AK2=DG2,CG2=BK2,即可得出
如图 四边形ABCD是矩形 点P是直线AD与BC外的任意一点 连接PA PB PC PD.请解答下列问题:(1)如图1 当点P在线段BC的垂直平分线MN上(对角线AC