问题补充:
已知函数f(x)=ax2-(a+1)x+1
(I)当时,不等式f(x)>0恒成立,求实数a的取值范围;
(II)设H(x)=[f(x)+a-1]ex,当a>-1且a≠0时,时求函数H(x)的单调区间和极值.
答案:
解:(I)①当a=0时f(x)=-x+1,在上f(x)>0一定成立
②当a≠0时,当a>0时,二次函数y=f(x)的图象开口向上,且与x轴有两个交点(1,0)和要使f(x)>0在上恒成立,当且仅当,即0<a≤1;
当a<0时,二次函数y=f(x)的图象开口向下,且与x轴有两个交点(1,0)和要使f(x)>0在上恒成立,当且仅当,即-2≤a≤0
综合可得实数a的取值范围是:-2≤a≤1.
(II)H(x)=[ax2-(a+1)x+a]ex,
令H(x)=0,解得x=,或x=-1
①当a>0时,则.当x变化时,H(x),H(x)的变化情况如下表:
所以函数H(x)在(-∞,-1),内是增函数,在内是减函数.
函数H(x)在x=-1处取得极大值H(-1),
且H(-1)=(3a+1)e-1函数H(x)在处取得极小值,且
②当-1<a<0时,则,当x变化时,H(x),H(x)的变化情况如下表:
所以函数H(x)在,(-1,+∞)内是减函数,
在内是增函数函数H(x)在x=-1处取得极大值H(-1),
且H(-1)=(3a+1)e-1函数H(x)在x=处取得极小值,且H
解析分析:(I)讨论a,分布就①a=0,②a>0,③a<0三种情况求函数的最大值,要使f(x)>0恒成立?f(x)min>0(II)代入整理可得H(x)=[ax2-(a+1)x+a]ex,对函数求导就①②③三种情况讨论函数H(x)的单调性及求极值.
点评:本题主要考查了导数的应用:利用导数求函数的极值及判断函数的单调性、求单调区间,但当极值点中含有参数时,要对极值的大小讨论,体现了分类讨论的思想在解题中的应用、
已知函数f(x)=ax2-(a+1)x+1(I)当时 不等式f(x)>0恒成立 求实数a的取值范围;(II)设H(x)=[f(x)+a-1]ex 当a>-1且a≠0时