问题补充:
如图,在直角坐标系xOy中,一次函数y=mx+n的图象与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点,且满足m2+n2+2m-8n+17=0.P为线段AB上的一个动点.PO⊥CO,PO=CO.
(1)判断△ABO的形状;
(2)求四边形PBCO的面积;
(3)设C(a,b),写出a,b满足的关系式.
答案:
解:(1)∵m2+n2+2m-8n+17=(m+1)2+(n-4)2=0,
∴m=-1,n=4,
∴y=-x+4,
∴A(4,0),B(0,4),即OA=OB=4,
∵∠AOB=90°,
∴△ABO为等腰直角三角形;
(2)∵∠BOC+∠BOP=90°,∠BOP+∠AOP=90°,
∴∠BOC=∠AOP,
在△AOP和△BOC中,
,
∴△AOP≌△BOC(SAS),
∴S四边形PBCO=S△BOC+S△BOP=S△AOP+S△BOP=S△AOB=×4×4=8;
(3)如图,分别过C、P两点作x轴的垂线,垂足为D、E,
∵∠COD+∠POE=90°,∠COD+∠OCD=90°,
∴∠POE=∠OCD,
在△CDO和△OEP中,
,
∴△CDO≌△OEP(AAS),
∴OE=CD=b,PE=OD=-a,
∴P(b,-a),
∴-a=-b+4,即b=a+4.
解析分析:(1)已知等式配方后利用非负数的性质求出m与n的值,确定出一次函数解析式,进而求出A与B的坐标,得到OA=OB,再由AO与BO垂直,即可确定出三角形ABO为等腰直角三角形;
(2)由OP与OC垂直,OA与OB垂直,利用同角的余角相等得到一对角相等,再由OC=OP,OB=OA,利用SAS得到三角形BOC与三角形AOP全等,得到两三角形面积相等,四边形PBCO的面积=三角形BOC面积+三角形BOP面积,等量代换得到四边形PBCO面积=三角形AOB面积,求出即可;
(3)如图,分别过C、P两点作x轴的垂线,垂足为D、E,由同角的余角相等得到一对角相等,再由一对直角相等,以及OC=OP,利用AAS得到三角形CDO与三角形OEP全等,由全等三角形的对应边相等得到OE=CD=b,PE=OD=-a,表示出P的坐标,代入直线y=-x+4,即可得到a与b的关系式.
点评:此题考查了一次函数综合题,涉及的知识有:坐标与图形性质,全等三角形的判定与性质,配方法的应用,非负数的性质,以及等腰直角三角形的判定,熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键.
如图 在直角坐标系xOy中 一次函数y=mx+n的图象与x轴 y轴的正半轴分别交于A B两点 且满足m2+n2+2m-8n+17=0.P为线段AB上的一个动点.PO⊥