问题补充:
已知集合M是满足下列两个条件的函数f(x)的全体:①f(x)在定义域上是单调函数;②在f(x)的定义域内存在闭区间[a,b],使f(x)在[a,b]上的值域为.则下列函数中,是集合M中的元素有______(将所有符合条件的序号都填上).
(1)f(x)=x2;(2)f(x)=2x;(3)f(x)=log2x;(4),x∈(-2,2).
答案:
答案:解:(1)函数在定义域内是偶函数,故不单调,故(1)不是属于M;
(2)f(x)=2xR上是单调函数,但不存在闭区间[a,b],使f(x)在[a,b]上的值域为,故不是属于M;
(3)f(x)=log2x在(0,+∞)上单调增,若属于M,则,即在(0,+∞)上有两解,利用导数可知成立,故是属于M;
(4),在x∈(-2,2)是单调增函数,若属于M,在(-2,2)上有两解,而函数为奇函数,故存在,是属于M.
故答案为(3)(4)
分析:(1)函数在定义域内是偶函数,故不单调;
(2)f(x)=2xR上是单调函数,但不存在闭区间[a,b],使f(x)在[a,b]上的值域为,故不是属于M;
(3)f(x)=log2x在(0,+∞)上单调增,若属于M,则,即在(0,+∞)上有两解,从而可判断;
(4),在x∈(-2,2)是单调增函数,若属于M,在(-2,2)上有两解,而函数为奇函数,从而可判断.
点评:题是一道带新定义的探究性的题目,在做这一类型题时,关键点是弄清题目中的新定义,并会用它来解题.考查集合的包含关系、函数的定义域、值域问题,同时考查数形结合思想、等价转化思想和利用所学知识分析问题、解决问题的能力.
已知集合M是满足下列两个条件的函数f在定义域上是单调函数 ②在f(x)的定义域内存在闭区间