问题补充:
已知集合M是同时满足下列两个性质的函数f(x)的全体:①f(x)在其定义域上是单调函数;②在f(x)的定义域内存在闭区间[a,b],使得f(x)在[a,b]上的最小值是,最大值是.请解答以下问题:
(1)判断函数g(x)=-x3是否属于集合M?并说明理由,若是,请找出满足②的闭区间[a,b];
(2)若函数,求实数t的取值范围.
答案:
解:(1)函数g(x)=-x3的定义域为 R,g′(x)=-3x2≤0 (仅在x=0时取等号),
故函数g(x)在R上是减函数,故满足条件①.
若g(x)∈M,当x∈[a,b]时,,即 ,解得 ,故满足条件②的闭区间为[-,].
由此可得,g(x)属于集合M.
(2)函数h(x)的定义域是[1,+∞),当x>1时,,故函数h(x)在[1,+∞)上是增函数,…
若h(x)∈M,则存在a,b∈[1,+∞),且a<b,使得,即,且,…
令,则y≥0,
于是关于y的方程y2-2y+1-2t=0在[0,+∞)上有两个不等的实根,…
记u(y)=y2-2y+1-2t,∴,∴.…
解析分析:(1)函数g(x)的定义域为 R,利用导数求得函数g(x)在R上是减函数,故满足条件①.若g(x)∈M,当x∈[a,b]时,,解得a、b的值,可得满足条件②的闭区间存在,从而g(x)属于集合M.
(2)利用导数可得函数h(x)在定义域[1,+∞)上是增函数.若h(x)∈M,则存在a,b∈[1,+∞),且a<b,使得,即,且.令,则y≥0,于是关于y的方程y2-2y+1-2t=0在[0,+∞)上有2个不等实根,利用二次函数的性质求得t的范围.
点评:本题主要考查函数的定义域、单调性的应用,求函数的最值,体现了转化的数学思想,属于中档题.
已知集合M是同时满足下列两个性质的函数f(x)的全体:①f(x)在其定义域上是单调函数;②在f(x)的定义域内存在闭区间[a b] 使得f(x)在[a b]上的最小值