1.离散时间周期信号：
基波周期：使（1）成立的最小正整数N；
基波频率：
2.复指数信号：
其共轭信号为：
补充：复指数信号为复数域上的信号，物理层面上不存在与之对应的信号，因此在现实世界常与其共轭信号一起出现使用（如式5）。
离散复指数信号：
将式3中t替换成n得
补充：对于以k为变参数、n为自变量的一组离散复指数信号，由定义可知当时，；因此此时k只需要取[0,N-1]即能包含该组所有离散复指数信号（当然也可以取[3,N+2]等等）。
3.离散傅里叶级数：
考虑用一组离散复指数信号合成一离散时间周期信号，形式如下：
又考虑到k只需要取[0,N-1]，因此也可以表示为N项求和的形式，如下：
下面求解每一项的系数：
由式8可得线性方程组：
......
其为一线性独立的线性方程组，对于比较简单的离散信号，可通过解该方程组求得；
下面给出上述方程组的通解求解思路：
需知道如下公式：
（该式可由复数的几何求和法证明）
对于求某一，将上述线性方程组每行左右乘以对应的（k,n为已知）后N行求和可得：
最终可得：
式8和14即为离散傅里叶级数对。
补充：由于离散时间周期信号为实数域上的信号，因此可知；也即，在频域的幅值特征上体现为局部对称，这一性质将在离散傅里叶变换的实际应用中进一步体现。
4.离散傅里叶变换：
对于非离散周期信号，可以将其视为N为无穷大的周期信号进行分析：
此时可记
又由
代入式8和14得
若记为离散傅里叶变换，
则由式17可得离散傅里叶变换对：
补充：式17中积分区间为而非无穷大，因为积分上限为。也可理解为由于其为离散信号，因此的部分频率细节丢失，因此会复现的频率信息，频域上整体呈现周期特征，但该部分频率特征并没有实际的应用价值。
5.离散傅里叶级数和离散傅里叶变换间的联系：
离散傅里叶级数更适用于计算离散时间周期信号，离散傅里叶变换则是为了分析一些离散非周期信号。在实际应用中，为了避免计算积分，也可对离散非周期信号两边进行处理，将其看成周期信号，然后使用傅里叶级数的方法进行分析。
同时离散傅里叶级数也可以看成离散傅里叶级数的特殊情况。在使用傅里叶变换处理离散时间周期信号时，可完全按照傅里叶变换的公式进行计算，不同的是会引入冲击函数。在此补充一个重要积分：
关于傅里叶变换还有很多性质，在此不一一赘述，其本质上均是傅里叶运算法则的性质，参考其基本概念将更加便于理解并更好的应用于工程中去。
