利用导数的几何以及物理意义建模
1
．将一个手表系在一条链子上，当沿直线拉此链的一端，在平面上，此手表所
描述的轨迹是什么？
【注】：微积分的发明人莱布尼兹讨论过此问题。
【模型】
：
y'(x)=-
【结果】
：
y(x)=x
【求解】：方法？换元法。
aa*arctan
，此为解析解。
【预备知识】：(
1
)积分方法；(
2
)双曲函数。
2
．【小孩和玩具问题】：一个小孩在平面上沿一曲线行走，设次曲线由两个世
纪的函数
X(t)
和
Y(t)
确定。假设此小孩借助长度为
a
的硬棒，拉或推某玩具，设
x(t)
和
y(t)
是玩具的位置，试确定玩具的轨迹。
【建模分析】：
(
1
)．
(X(t)
，
Y(t))
与
(x(t)
，
y(t))
之间的距离总是硬棒的长度，于是
(X-x)+(Y-y)=a222
(
1
)
(
2
)．玩具总是在硬棒的方向上运动，因此，两个位置的差向量是玩具的速度
方向的倍数，
vT=(x',y')T
：
⎛
X-x
⎫⎛
x'
⎫
=λ
⎪
⎪
,λ>0
(
2
)
⎝
Y-y
⎭⎝
y'
⎭
(
3
)玩具的速度依赖于小孩的速度向量
Vc
的方向。小孩的速度
Vc
在硬棒上的
投影是玩具的速度
VT
的模。
【特例】：假设小孩在半径为
a
(硬棒的长)的圆上行走。在此特殊
情况下，玩具停留在此圆的圆心，根本不运动。
将式(
2
)代入式(
1
)可得，
