今天晚上王小民同学问了助教姐姐一个问题，为什么对一个一般的矩阵对角化的时候，我们不用做正交单位化，对实对称矩阵对角化的时候却要做呢？这是一个很好的问题，所以和大家分享一下。
最后的结论就是：如果不做正交单位话，我们一样可以通过U（把特征向量按照列写成的矩阵），把一个实对称矩阵对角化为以它的特征值为对角元的对角矩阵。
我们知道，对应一个特征值的特征向量乘以任何一个非零的系数，仍然还是对应着这个特征值的特征向量，如果一个特征值对应多个特征向量，那在它们张成的空间里找出同样数量的线性不相关的向量，也都是这个特征值的特征向量，所以说特征向量并不唯一，也就是说这里的U是不唯一的。
而对于一个实对称矩阵，它的属于不同特征值的特征向量天生就是正交的，这使得我们只要在每个特征值内部选取合适的互相正交的特征向量，就能保证所有的特征向量都正交。而我们刚刚说过，特征向量乘以一个系数，仍然还是特征向量。所以，对于实对称矩阵来说，我们完全可以在诸多的U中选出一个特殊的Q，让Q的每一个列向量都互相正交而且长度为1。这时我们就惊喜的发现，这样的相当于由一组标准正交基当做列向量组成的矩阵Q，正是一个正交矩阵。
于是，我们就清楚的知道了，对实对称矩阵对角化的时候，正交单位化不是必须的，只有当我们想在实对称矩阵的诸多U里选取一个正交矩阵Q时，才需要做。正交矩阵有很多很好的性质，于是乎想从U里找到一个Q也变得情有可原了不是？
