许兴华数学
构图很重要,直角顶点构造等腰直角三角形,形成旋转型全等,在旋转过程中,存在最小值与最大值,则PC的范围就可以求出来.总结规律会发现:PA=3,PB=5,再观察答案,即可得到结论.
观察动态形式,看线段PC的变化
点D为弧AB的中点,可得∠ABD=∠ACD=45°
直径AB,可得∠ACB=90°,所以∠ABC=52°
题中讲到切线,切点与圆心必连线,也可得到90°
平行线,可推内错角,借助外角可求∠AOD=128°
同弧所对的圆周角是圆心角的一半,可得∠ACD=64°
题中有两条切线,根据HL可证△ODE≌△OBE,所以DE=BE,∠3=∠4.借助等角的余角相等,可得∠1=∠2,可得DE=CE,等量代换BE=CE
当DE∥AB时,可得正方形OBED,且边长即为半径r,题中所求三角函数值,就要放在直角三角形中,所以构建直角三角形。过点O作OF⊥AC,其中△AOD是等腰直角三角形,解得AF=OF的值。在Rt△BOC中,根据勾股定理可求OC的长。在直角△COF中,可求sin∠ACO。
当题中出现“等腰三角形”、“平行线”、“角平分线”三个条件,出现其中任意两个可得另一个。在圆中,出现等腰三角形很容易,半径都相等。
连接EF,可得90°圆周角,目的为了证明平行线,进而得到同位角,再加上同弧所对的圆周角相等。所以可以证明△ABD和△ADF相似,即可得到AD与x、y的关系。
sinB的值可以在直角△OBD中求解半径的长,可得x的值;sinB的值与sin∠AEF的值相等,在直角△AEF中,可解y的值。所以AD的长可解。两角对应相等,△ODG与△FAG相似,可解DG的长。
连接OD,OG是△ABC的中位线,可解OG=2,也可得到半径的长度。所以在直角△OBG中,较短直角边与斜边的关系,可得∠BOG的度数。
等角的余角相等,可证OB平分∠EBC,可证△OEB与△OCB全等。(2)在直角△AOD中,可知AO=8-r,OE=r,AE=4,根据勾股定理解得半径的长。AD是△AOB的高,借助面积法,可解AD的长。
(1)主要是直径所对的圆周角是直角,和等腰三角形,可得图中标记的角相等。(2)证明△CDA和△BDC相似,得到边长的比,借助等腰直角三角形CE=CF,可得135°的外角等,证明图中阴影三角形△CED与△BFD相似。
(1)借助两个等腰三角形,可得底角的关系即可证明;(2)题中求PE与CE的比值。连接BC、OP。即可得到“八字型”相似,因此可解PE与CE的比值。但这道题证明△PBF与△POB相似是关键,得到PF的长(含字母a表示)
(1)就是角的关系的转换,等腰三角形可知三弧角,(2)直径推90°圆周角,下一步就是证明△EFB与△CAD相似,可得BE与CD的比值,而CD=2OC,即可求解答案。
根据题意PD=OD=8在(2)的前提下解得BE的长,其中直角△BOP,且点D是线段OP的中点,可知等边△BOD,可求BG的长。那么在三角形BEG中,根据勾股定理解出GE的长,OE=GE-OG。
(2)平行线推内错角,可得等腰△ABC,在直角△OFB中,根据勾股定理可解半径的长,在直角△ABD中即可求出AD的长。
(2)在直角△AOD中根据勾股定理可解出半径的长,根据已知的比例关系,解出DP的长,其中点P还是BC的中点,相似可解。MD在△CDM中,证明△BCM与△CDM相似。
(1)圆内接四边形的性质,可得∠PCB=∠BAD,平行线可推同位角相等,借助同弧所对的圆周角相等,等量代换即可。(2)根据题中的多个直角,可证出四边形BCDH是平行四边形,可得BC=1.在直角△ABC中,可求出30°、60°角,同时可证明△DOH是等腰三角形。
在之间的准备下,借助同位角可得∠AFE=60°,根据外角求出弧DC对的圆心角的度数,则∠CBD的度数就可以求出来,所求∠BDE与之是内错角关系。
证明△ABC与△DAE全等即可,
在直角△ABC中,可解直径AB的长,在等腰直角△ABD中吗,求出BD的长。根据AF⊥BD,三线合一,则DF的长可求,在△DEF和△DBO中,通过计算发现,在这两个三角形中,两边对应成比例,且夹角为公共角,那么这两个三角形相似。
求sin∠ABF的值,需放在一个直角三角形中。过点F作FG⊥AB,得到FG的长度。下一步就是求出斜边BF的长,过点F作FH⊥BC,可证明四边形ACHF是正方形,在直角△BFH中,就可以求出BF的长,此题可解。
(1)可证明等腰△ABC,则AB=AC,由翻折性质可得:AC=AE;(2)∠ADB与∠AEB相等,构造在直角三角形中,过点A作AF⊥BE,且AE=AB,根据等腰三角形“三线合一”可解AE=AB=3,在直角△ABC中,可求BC的长。
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