问题补充:
解答题已知直线y=-2上有一个动点Q,过Q作直线l垂直于x轴,动点P在直线l上,且⊥,记点P的轨迹为C1,
(1)求曲线C1的方程;
(2)设直线l与x轴交于点A,且,试判断直线PB与曲线C1的位置关系,并证明你的结论;
(3)已知圆C2:x2+(y-a)2=2,若C1、C2在交点处的切线相互垂直,求a的值.
答案:
解:(1)设点P的坐标为(x,y),则Q(x,-2),
∵⊥∴…(2分)
∴x2-2y=0,
当x=0时,P、O、Q三点共线,不符合题意,故x≠0.
∴曲线C的方程为x2=2y(x≠0).
(2)设点P的坐标(x0,y0),∴A(x0,0)∵∴
∵∴直线PB的斜率…(5分)
∵x02=2y0∴k=x0∴直线PB的方程为y=x0x-y0…(6分)
代入x2=2y得x2-2x0x+2y0=0,∵△=4x02-8y0=0
∴直线PB与曲线C1相切.…(7分)
(3)不妨设C1、C2的一个交点为N(x1,y1),C1的方程为
则在C1上N点处切线的斜率为y′=x1.C2上过N点的半径的斜率为
,
又,得y1=-a,x12=-2a…(10分)
∵N(x1,y1)在圆C2上,∴-2a+4a2=2,∴或a=1
∵y1>0∴a<0,∴…(12分)解析分析:(1)先设P点坐标,进而得出Q点坐标,再根据OP⊥OQ 得到∴,从而得解.(2)先求直线PB的方程,再代入x2=2y得x2-2x0x+2y0=0,利用△=4x02-8y0=0,可得直线PB与曲线C1相切.(3)分别求出在C1上N点处切线的斜率为,C2上过N点的半径的斜率,利用C1、C2在交点处的切线相互垂直,可建立方程,再利用点在圆上可解,点评:本题的考点是曲线与方程,主要考查直接法求轨迹方程,考查直线与曲线的位置关系,关键是利用直线与方程组成方程组,从而利用方程的思想研究.