问题补充:
已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的导函数为f′(x),且f(-x)=f(x),f(1)=1,f′(-1)=-2.数列{an}满足a1=1,且当n≥2,n∈N*时,an=n2[++…+].
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)当n≥2且n∈N*时,比较与的大小.
(3)比较(1+)(1+)(1+)L(1+)与4的大小.
答案:
解:(1)∵f(x)=ax2+bx+c,∴由f(-x)=f(x),有b=0,得f(x)=ax2+c.又f(1)=1,f′(-1)=-2,∴a+c=1,2a×(-1)=-2,∴a=1,c=0,∴f(x)=x2.
(2)∵f(n)=n2,∴.,∴,,∴.
(3)由题意可得a2=4;当n=1时,有.当n≥2且n∈N*时,
(1+)(1+)(1+)L(1+)=4
所以,对任意n∈N*有(1+)(1+)(1+)L(1+)<4.
解析分析:(1)利用由f(-x)=f(x),有b=0,从而f(x)=ax2+c,f(1)=1,f′(-1)=-2,可求a、c的值,从而可求函数表达式;(2)分别表示出分子、分母,进而可得;(3)将连乘积表示为(1+)(1+)(1+)L(1+)=,再用裂项求和法,利用可得结论.
点评:本题考查数列与不等式的结合,考查裂项求和、放缩法,有一定的技巧.
已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的导函数为f′(x) 且f(-x)=f(x) f(1)=1 f′(-1)=-2.数列{an}满足a1=1 且当n≥2