问题补充:
(1)如图1,已知△ABC中,∠C=90°,AC=BC,点C在直线l上,过点A作AE⊥l于E,BF⊥l于F,则线段CE与BF的数量关系是______;
(2)如图2,分别以AB、AC为一边向△ABC外作正方形ABGE和ACHF,直线AN⊥BC于N,若EP⊥AN于P,FQ⊥AN于Q,判断线段EP、FQ之间的数量关系,并说明;
(3)如图3,分别以AB、AC为一边向△ABC外作矩形ABGE和ACHF,线AN⊥BC于N,若EP⊥AN于P,FQ⊥AN于Q,如果GB=kAB,HC=kAC,(2)中结论还成立吗?请说明理由.
答案:
解:(1)CE=BF.理由如下:
∵∠C=90°,
∴∠ACE+∠BCF=90°,
∵AE⊥l于E,BF⊥l于F,
∴∠AEC=∠BFC=90°,
∴∠EAC+∠ACE=90°,
∴∠EAC=∠BCF
∵AC=BC,
∴Rt△AEC≌Rt△CFB,
∴CE=BF;
(2)EP=FQ.理由如下:
∵四边形ABGE和四边形ACHF都是正方形,
∴AE=AB,AF=AC,∠BAE=∠CAF=90°,
∵AN⊥BC于N,EP⊥AN于P,FQ⊥AN于Q,
∴∠ANC=∠ANB=∠EPA=∠FQA=90°,
∴∠EAP=∠ABN,∠FAQ=∠ACN,
∴Rt△FQA≌△ANC,△EPA≌△ANB,
∴FQ=AN,EP=AN,
∴EP=FQ;
(3)(2)中结论还成立,即EP=FQ;理由如下:
同(2)一样可得∠EAP=∠ABN,∠FAQ=∠ACN,
∴Rt△FQA∽△ANC,△EPA∽△ANB,
∴FQ:AN=AF:AC,EP:AN=AE:AB,
又∵GB=kAB,HC=kAC,
∴AF:AC=AE:AB=k,
∴FQ:AN=EP:AN,
∴EP=FQ.
解析分析:(1)易证Rt△AEC≌Rt△CFB,由全等三角形的性质可以得出结论CE=BF;
(2)由条件可以证明Rt△EQA≌Rt△ANC,可以得出FQ=AN,由Rt△EPQ≌Rt△ANB可以得出EP=AN,从而得出EP=FQ;
(3)由条件可以得出Rt△FQA∽Rt△ANC,Rt△EPA∽Rt△ANB,从而证明,,从而得出EP=FQ.
点评:本题考查了相似三角形的判定与性质:有两组对应角分别相等的两三角形相似;相似三角形对应边的比相等.也考查了全等三角形的判定与性质以及正方形的性质.
(1)如图1 已知△ABC中 ∠C=90° AC=BC 点C在直线l上 过点A作AE⊥l于E BF⊥l于F 则线段CE与BF的数量关系是______;(2)如图2 分