问题补充:
已知正方形ABCD的边长为6cm,点E是射线BC上的一个动点,连接AE交射线DC于点F,将△ABE沿直线AE翻折,点B落在点B′处.
(1)当=1时,CF=______cm,
(2)当=2时,求sin∠DAB′的值;
(3)当=x时(点C与点E不重合),请写出△ABE翻折后与正方形ABCD公共部分的面积y与x的关系式,(只要写出结论,不要解题过程).
答案:
解:(1)当=1时,∵AB∥DF,
∴=1.
∵AB=6,
∴CF=6cm.
(2)①如图1.当点E在BC上时,延长AB′交DC于点M.
∵AB∥CF,
∴△ABE∽△FCE,
∴.
∵=2,
∴CF=3;
∵AB∥CF,
∴∠BAE=∠F;
又∠BAE=∠B′AE,
∴∠B′AE=∠F,
∴MA=MF.
令MA=MF=k,则MC=k-3,DM=9-k.
在Rt△ADM中,由勾股定理得:k2=(9-k)2+62,
解得k=MA=,
∴DM=.
∴sin∠DAB′=.
②如图2.当点E在BC延长线上时,延长AD交B′E于点N,同①可得NA=NE.
设NA=NE=m,则B′N=12-m,
在Rt△AB′N中,由勾股定理,得m2=(12-m)2+62,
解得m=AN=,
∴B′N=,
∴sin∠DAB′=.
(3)当=x时,正方形ABCD的边长为6cm,△ABE翻折后与正方形ABCD公共部分的面积y.分两种情况:
①当点E在BC上时.
∵=x,
∴=,BE=,
∴y=×AB×BE,即y=.
②当点E在BC延长线上时,△ADF的面积为所求.
∵=x,∴=,
又∵AD=6,
∴FC=,DF=6-;
∴,
∴y=.
解析分析:(1)当=1时,由AB∥DF,得,由AB=6,CF可求.
(2)当=2时,①点E在线段AB上时,延长AB′交DC于点M,求sin∠DAB′的值,即求的值,由AB∥CF,可得△ABE∽△FCE,即得=2,又AB=6,可得CF=3;由∠BAE=∠F,又∠BAE=∠B′AE,可得∠B′AE=∠F,即MA=MF.设MA=MF=k,则MC=k-3,DM=9-k.在Rt△ADM中,由勾股定理得:k2=(9-k)2+62,解得k=.得DM=,.即sin∠DAB′的值可求.②点E在不在线段AB上时,如图2所示,求sin∠DAB′的值,即是求的值,同理可求.
(3)当=x时,求△ABE翻折后与正方形ABCD公共部分的面积y与x的关系式,同理需分两种情况,①动点的位置在线段BC上,所求△AB′E的面积即为△ABE的面积;②动点的位置不在线段BC上,△ADF的面积为所求.
点评:此题综合考查函数、正方形,平行线分线段成比例定理、图形的旋转、等知识点.分类讨论的思想,综合性强.
已知正方形ABCD的边长为6cm 点E是射线BC上的一个动点 连接AE交射线DC于点F 将△ABE沿直线AE翻折 点B落在点B′处.(1)当=1时 CF=______