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1. 基本问题说明
在没有给出具体的函数解析式，而只给出了一些体现该函数特性或关系的已知条件下，求解函数解析式、函数值、参数值等均属于抽象函数的基本问题。
由于没有函数解析式，抽象函数问题的理解变得比较抽象，其解答思路与(已给出解析式的)常规函数相去甚远。这令大多数基础不扎实的同学为之头疼不已，使之成为函数部分的难点之一。
2. 解决问题的一般方法
1) 必要条件
攻克抽象函数问题的关键是深刻理解并熟练应用函数的概念、性质等。做好这点，有助于你理解和抓住抽象函数问题的本质，而不是一直揪着‘函数解析式未知’不放。
抽象函数的解析式未知，但它是一个真正的函数，也有各种实实在在的、具体的特性。换句话说，虽然函数是抽象的——函数解析式未知，但它的有关特性是具象的，关键是理解和把握后者。由此，我们可以理解并归纳出这类问题的求解通法。
求解抽象函数有关问题，需要具象化意识
2) 常用的变换要领
① 善用抽象函数的性质
a) 利用奇偶性，可去掉函数符号“f”前的“负号”(反之亦然)；
b) 利用单调性，可去掉函数符号“f” (反之亦然)。
② 洞察抽象函数中间变量间联系
抽象函数常以复合函数形式出现，如f(-x)、f(-1/(1+x))等。根据复合函数的概念，其中的-x与-1/(1+x)即为中间变量——一方面它作为整体式f(x)的自变量，另一方面它自身也是一个以x为自变量的函数。此时，应先洞察它们各自的特点与相互联系，在进行有的放矢的变换
3) 常见基本问题及其求解一般方法
① 求值
a) 赋值法
通过观察，代入0、1等特殊值来求解；注意，不要忽视函数定义域及其作用，如定义域的边界；
b) 解方程(组)法
② 求/证奇偶性
c) 定义法
利用上述要领，通过变换得到满足奇偶性定义的关系式。
③ 求/证单调性
a) 定义法
已知是和差式时，作差f(x1)-f(x2)与0比大小；
已知为商积式时，作商f(x1)/f(x2)与1比大小,f(x2)非0。
④ 求解析式
a) 若根据已知可推知函数模型时，可利用待定系数法求解；
b) 若无法推知函数模型，一般要通过解方程(组)法求解。其中，方程或者是已知的，或者是利用已知的抽象函数性质列出的，或者是利用已知方程变换出来的。
‘求解抽象函数解析式问题’既是抽象函数问题中难点，也是求解函数解析式问题中的难点。
提示：在“求解函数解析式问题”专题中已详尽阐述这部分内容，并给出它的解题通法(如下图)，这里不再赘述。
3. 典型示例
例1已知f(x+y) + f(x-y) = 2f(x)f(y)，对一切实数x、y都成立，且f(0) ≠ 0, 求证f(x)为偶函数。
解：依题意，
令x=0, 则由已知得：f(y) + f(-y) = 2f(0)f(y)(1)
在(1)中，令y=0，则得：f(0) + f(0) = 2f(0)f(0)
又f(0) ≠ 0
∴ f(0) = 1
∴ 由(1)得：f(-y) = f(y)
∴ f(x)为偶函数
例2 设f(x)定义在R上,并且对任意的x,有f(x+2)=f(x+3)-f(x+4),求证f(x)是周期函数,并找出他的一个周期
解：∵f(x+2)=f(x+3)-f(x+4) (1)，
∴f(x+3)=f(x+4)-f(x+5)(2)，(提示：构造一个方程式)
将(2)代入(1)式,则得
f(x+2)=f(x+4)-f(x+2)-f(x+4)
f(x+2)=-f(x+5)
∴f(x+5)=-f(x+8)
∴f(x+2)=-f(x+5)=f(x+8),
即f(x) = f(x+6),
∴f(x)是周期函数,一个周期为6。
例3 一已知f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，且有f(x)+g(x)=1/(x-1),求f(x)、g(x)。
解：∵f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，
∴f(-x)= f(x), g(-x)=-g(x)，
不妨用-x代入已知式，可得：
f(-x)+ g(-x) =1/(-x-1),
即f(x)-g(x) =-1/(x+1)， (1)
（提示：利用函数性质得出一个新方程，再与已知的方程联立求解，这是抽象函数有关题型的求解一般思路。万变不离其宗！）
由(1)+原式，可得：
f(x)=1/(x^2-1),即为所求。
再把f(x)代入(1),得：
f(x)=x/(x^2-1),即为所求。
例4奇函数f(x)在定义域（-1，1）内递减，求满足f(1-m)+f(1-m^2)<0的实数m的取值范围。
讲解：
① 本题为通过函数性质法来求解抽象函数有关题型的示例。
② 抽象函数有关题型的常用三大方法：
a) 函数性质法
利用函数性质直接求解或进行变换；
b) 特殊值法
利用函数的特殊值(或特征值)进行求解；
c) 解方程(组)法均为抽象函数有关题型的常用方法
通过解方程或解方程组来进行求解。
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