摘要：函数的零点是函数的重要性质，实质上反映了函数与方程的关系，体现了数学结合思想，是高考的热点之一。本文重点分析和研究利用数形结合思想求解函数零点(分布)及其个数相关问题的一般解法与技巧。
1. 基本问题说明
函数零点及其个数的相关问题包括：根据题设中函数概念、性质等已知条件，求解函数的零点、判定函数整个定义或或某个区间内零点的个数、判定函数零点所在区间(范围)等；或者根据已知的函数零点及其个数有关条件，逆向求解函数相关问题，如参数问题。
这类问题属于考查的重点。当题目是以三次函数或超越函数方式出现时，一般都有一定难度。
提示：一元二次函数根的分布将作为一个独立问题在后文进行论述。
2. 解决问题的一般方法
1) 判定函数零点所在区间(范围)
由零点存在性定理：
① 如果f(x)在区间(a,b)内连续，且f(a)f(b) < 0，则至少有一个根；逆推，不一定成立！只有单调时才能逆推！
② 判定“零点在某区间(a,b)的个数是唯一”的方法
a) f(x)在区间(a,b)上连续，且f(a)f(b) < 0;
b) 在区间(a,b)上单调。
2) 判定函数零点个数
① 解方程法
当f(x)=0的根易求解时适用。
所求得f(x)=0的根即为所求零点。
提示：x^2+2x+1=0有两个等根，但y=x^2+2x+1只有一个零点——既要知道方程与函数的联系，也要知道二者概念上的差别。
② 导数法
当f(x)=0的根不易求解或无法求解时适用。一般方法为：
a) 需要时，先把方程问题转化为函数零点问题；
b) 然后借助导数来确定函数的单调区间；
c) 每个单调区间上最多有一个零点，所以可以通过判断每一个单调区间端点值的符号，来判断这个区间上有没有零点
i. 符号相反时，有一个零点；
ii. 均为正值或负值时，没有零点；
iii. 如果有一个端点值为0，要看实际题意，例如开、闭区间。
③ 图像法
当f(x)=0的根不易求解或无法求解时适用。
a) 通过图像，判断与x轴的交点个数。此时不用解出具体值，只需分析与判断图像趋势或走向。但不要忘记分析‘增速不同的两根相交曲线’再次相交的可能性。
举例并思考：y=2^x和y=x^2，有几个交点？为什么？
如图。在交点2的右侧，f(x)=x^2的斜率大于f(x)=2^x的斜率，但在交点3的右侧，二者的斜率大小关系逆转，此为交点2之后还存在交点3的原因所在。
b) 复杂函数（如超越函数）的图难以画出时，可以把其零点问题转换为‘两个简单函数的交点问题’——即两个简单函数在某点的值相等时，即存在零点。
3. 典型例题
例1函数f(x)=2x^3-3x+1零点的个数为___；
例2求函数f(x)=log2^x + 2^x - 7的零点个数，并写出它的一个大致区间。
讲解：
① 本题是与零点个数相关问题的基础题。
由于已知函数属为超越函数，所以将其转化为基本初等函数的交点问题——这是此情形下的常见处理技巧。
② 基于函数单调性判断其零点个数及其大致区间分布，是此类问题的求解一般方法。
例3已知函数f（x）=x-lnx，若关于x的方程f(x)+2x = x2+b在[1/2,2]上恰有两不相等的实根,求实数b的范围
例4函数f(x)=lnx+2x-6的零点一定位于区间（ ）
A.(1,2) B.(2,3) C.(3,4) D.(4,5).
解：函数 在上的图像是连续的，
（提示：留意此题的求解方法——赋值法, 在选填题中时有奇效）
∵f(1)=-4<0, f(2)=ln2-2<0，
f(3)=ln3>0, f(4)>0，f(5)>0，
∴f(2)f(3)<0,即函数f(x)的零点在区间内，
故选B。
例5已知x∈R，符号[x]表示不超过x的最大整数，若函数f（x）= [x]/x-a（x＞0）有且仅有3个零点，则实数a的取值范围是____。
讲解：
① 本题是与零点个数问题相关的题型。
本题在求解时，先要结合函数的单调性得到[x]可以取值的范围，进而得到a的范围。本题难度较大，同学不易找到入手点。
② 本题[x]是新定义的概念，理解其意义和本质是解题的关键。
③ 本题解题过程不易理解（要求较强的分析和推理能力），也可以换个简捷方法来理解和解答 - 数形结合思想：
方程[x]/x=a有三个实数根，即要求[x] = ax有三个实数根——这样就将不易看清的原函数的零点关系转化为两个简单函数模型的交点关系——这也是零点问题的常用方法或思路之一；
其中y=[x]是阶梯状分段函数，y=ax要与之有且有三个交点的斜率a的范围就是本题所要求的——即下图蓝红直线斜率之间的范围。
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