1. 基本问题说明
立体几何中,有些题中已知几何体的外接球和/或内切球(包括变式:球内几个点围成的几何体),而且涉及的球可能不止一个,这些球之间或者相互外切、或者相互内切、或者组成某种结构与形状(如对称),然后求解或计算其有关的几何量。
这就是立体几何中常见的基本问题之一,几何体的"外接球与内切球"的计算问题。
2. 解决基本问题的一般方法
1) 抓住“接”和“切”的关键特征
a) 外接球
外接球关键特征为外“接”。因此,各“接”点到球心距离相等且等于半径,解题时无论构造图形还是计算都要对此善加利用。
b) 内切球
内切球关键特征为内“切”。因此,各“切”点到球心距离相等且等于半径,且与球心的连线垂直切面,解题时无论构造图形还是计算都要对此善加利用。
2) 抓住“中心位置”的特性
在这类题中,组合体的中心常常因组合体的某些性质(如对称性)而位于一些特殊位置(如圆心、中心重合),因而很多时候确定中心位置对解题具有非常重要的作用。一般方法为:
a) 确定中心位置, 一般为解题的关键第一步
当为外接球、或只有一个内切球时,组合体的中心就是球心;当内切球不止一个,且两两相切时,可根据对称性、外接球的内接面的中心垂线等特性来确定中心位置。
b) 构建几何图形,一般为解题的关键第二步(然后只需计算基本量并代入公式求解了)
基于中心位置和球心(不与中心重合时),并结合外接点或内切点,构建可方便地用来辅助计算的几何图形——最终目标多为直角三角形。这是求解这类问题的要领与技巧。
举例——正四面体的外接球和内切球
此时可直接利用相关几何性质求解(如图),可得到内切球和外接球的半径分别为h/4和3h/4,其中h=AO1。
提示1:可记住该中间结论“正四面体外接球与内切球半径之比为3 : 1”——有助于提高求解选填题的速度。
提示2:可类比记忆和推导上述中间结论。正三角形的中心(外接圆与内切圆的圆心)把正三角形分成三等份,由此可知每一等份的面积为整个三角形面积的1/3,也即二者的高之比为1/3,所以正三角形的外接圆与内切圆的半径之比为2:1。由此,平面正三角形类比到立体的正四面体(即维度+1,类比的结论也+1),正四面体的中心(外接球与内切球的圆心)把正四面体分成4等份,由此可知每一等份的体积为整个正四面体体积的1/4,也二者的高之比为1/4,所以正四面体的外接球与内切球的半径之比为3:1。
3) 割补法(实用技巧)
当处理某些特殊几何体的外接球时,如果中心或圆心不方便定位,可考虑将其补全为正方体或长方体,这样球的中心就与正方体或长方体中心重合了(这是本质所在),使待求解问题有关的辅助图形构造、计算和理解都会因此变得便捷得多。如正四面体(第一图)、正八面体(第二图)、对棱相等的四面体(第三图,正四面体为其特例)、各棱于顶点处相互垂直的四面体(棱长相等或不等均可——其顶点即为长方体或正方体的一个顶点,图略)等。部分示意图如下:
4) 确定球心的一种通用方法——球的“垂径定理”(类比于圆的垂径定理而命名)
a) 球的“垂径定理”
球心与任一截面圆心的连线垂直于截面;反之,任一截面通过圆心的垂线穿过球心。
b) 确定球心的一种通用方法
根据以上性质,首先找几何体的一个内接面的外接圆的圆心,通过圆心且垂直于该平面的直线一定穿过球心,同理,可找到一条垂直于另一内接面的外接圆的圆心的直线;则两直线交点即为球心。例如:
底面BCDE外接圆的圆心为对角线的交点,过O1作垂线,球心在其垂线上;平面ABC外接圆的圆心为其外心,由于是正三角形,也是重心O2,过圆心的垂线穿过球心;故球心在两条垂线的交点上。
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3. 典型例题
例1 (1)正方体的内切球与其外接球的体积之比为______.
(2)一个四面体的所有棱长都是√2,四个顶点在同一个球面上,则此球的表面积为______.
讲解:
无论是理解和抓住几何体外接球与内切球的关键要素——中心、对称性等,还是具体的解答过程,说到根上都离不开对有关几何体或几何图形的特征、性质等基础知识的透彻理解和灵活运用。
例2 在正三棱锥S—ABC中,侧棱SC⊥侧面SAB,侧棱SC = 2√3,则此正三棱锥的外接球的表面积为___。
解:正三棱锥S—ABC中,由SC⊥侧面SAB,可知:
(提示:理解“正”字意味着哪些性质是关键。)
解:如图。此正八面体是每个面的边长均为a的正三角形,所以:
故选A.
讲解:
一般思路:设正八面体的边长,利用表面积,求出边长;然后利用割补法求球的直径,最后即可求得体积。本题对学生的空间想象能力、逻辑思维能力、以及正八面体特征与性质及其与正方体之间的(位置)关系等基础知识的要求较高,需要具备扎实的基础。因此本题具有一定难度,属中档题目。.例4 已知一三棱锥对棱相等,棱长分别为2, 3, 4,求该三棱锥外接球体积。
解:如图。构造一个长方体 ABCD-ABCD,使AC = 2,AB= 3,AD = 4 ;
则三棱锥 ABCD 正好满足对棱相等,棱长分别为 2,3,4 ,而该三棱锥的外接球即为长方体的外接球;
由勾股定理可得:
AB+AD = AB+BC = AC = 4 ,
AB+AA = AB = 9 ,
AD+AA = AD = 16 ,
三式相加除以2,可得:AB+AD+AA = 29/2 ;
讲解:
提示:前3个例题都将待求几何体看成正方体的一部分,然后通过正方体来便捷地求解。这是一个常用方法与技巧——割补法,体现了数学的转化与整体思想。
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