已知集合U={1,2,…,n}(n∈N*,n≥2),对于集合U的两个非空子集A,B,若A∩B=,则称(A,B)为集合U的一组“互斥子集”.记集合U的所有“互斥子集”的组数为f(n)(视(A,B)与(B,A)为同一组“互斥子集”).
(1)写出f(2),f(3),f(4)的值;
(2)求f(n).
解:(1)f(2)=1,f(3)=6,f(4)=25;
(2)任意一个元素只能在集合A,B,C=CU(A∪B)之一中,
则这n个元素在集合A,B,C中,共有3n种;
其中A为空集的种数为2n,B为空集的种数为2n,
∴A,B均为非空子集的种数为3n﹣2n+1+1,
又(A,B)与(B,A)为一组“互斥子集”,
∴f(n)=(3n-2n+1+1)/2.
考点分析:
交、并、补集的混合运算.
已知两集合间的关系求参数时,关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系,进而转化为参数满足的关系.解决这类问题常常需要合理利用数轴、Venn图帮助分析。
研究集合问题,一定要抓住元素,看元素应满足的属性,对于含有字母的集合,在求出字母的值后,要注意检验集合的元素是否满足互异性。
解题反思:
(1)直接由“互斥子集”的概念求得f(2),f(3),f(4)的值;
(2)由题意,任意一个元素只能在集合A,B,C=CU(A∪B)之一中,求出这n个元素在集合A,B,C中的个数,再求出A、B分别为空集的种数,则f(n)可求.