问题补充:
如图,已知直线y=4-x与反比例函数y=(m>0,x>0)的图象交于A,B两点,与x轴,y轴分别相交于C,D两点.
(1)如果点A的横坐标为1,利用函数图象求关于x的不等式4-x<的解集;
(2)是否存在以AB为直径的圆经过点P(1,0)?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.
答案:
解:(1)将x=1代入直线y=4-x得,y=4-1=3,
则A点坐标为(1,3),
将A(1,3)代入y=(m>0,x>0)得,
m=3,
则反比例函数解析式为y=,
组成方程组得,
解得,x1=1,x2=3,则B点坐标为(3,1).
当不等式4-x<时,x<1或x>3.
(2)点A、B在直线y=4-x上,则可设A(a,4-a),B(b,4-b).
如右图所示,过点A作AD⊥x轴于点D,则AD=4-a,PD=1-a;
过点B作BE⊥x轴于点E,则BE=4-b,PE=b-1.
∵点P在以AB为直角的圆上,
∴∠APB=90°(圆周角定理).
易证Rt△ADP∽Rt△PEB,
∴,即,
整理得:5(a+b)-2ab=17?? ①
∵点A、B在双曲线y=上,
∴a(4-a)=m,b(4-b)=m,
∴a2-4a+m=0,b2-4b+m=0,
∴a、b是一元二次方程x2-4x+m=0的两个根,
∴a+b=4,ab=m.
代入①式得:5×4-2m=17,
解得:m=.
∴存在以AB为直径的圆经过点P(1,0),此时m=.
解析分析:(1)首先求出A点坐标,把将A(1,3)代入y=求出m,联立函数解析式求出B点坐标,进而求出不等式的解集;
(2)点A、B在直线y=4-x上,则可设A(a,4-a),B(b,4-b);以AB为直径的圆经过点P(1,0),则由圆周角定理得∠APB=90°,易证Rt△ADP∽Rt△PEB,列比例式求得a、b的关系式为:5(a+b)-2ab=17 ①;而点A、B又在双曲线上,可推出a、b是一元二次方程x2-4x+m=0的两个根,得a+b=4,ab=m,代入①式求出m的值.
点评:本题主要考查反比例函数的综合题,解答本题的关键是熟练反比例函数和一次函数的性质,解答本题(2)问的时候一定注意三点构成圆的条件,此题难度较大.
如图 已知直线y=4-x与反比例函数y=(m>0 x>0)的图象交于A B两点 与x轴 y轴分别相交于C D两点.(1)如果点A的横坐标为1 利用函数图象求关于x的不