问题补充:
已知集合M是满足下列性质的所有函数f(x)组成的集合:对于函数f(x),定义域内的任意两个不同自变量x1,x2,均有|f(x1)-f(x2)|≤|x1-x2|成立.
(1)判断函数f(x)=3x+1是否属于集合M?说明理由;
(2)若在(1,+∞)上属于M,求实数a的取值范围.
答案:
解:(1)f(x)=3x-1?M,可举反例说明:
若x1=1,x2=2,则f(x1)=4,f(x2)=7,|f(x1)-f(x2)|=3≤1=|x1-x2|不成立.
(2)对任意两个自变量x1,x2∈(1,+∞),
因为|g(x1)-g(x2)|=
=恒成立.
?|a|?||≤1?|a|≤||
又x1>1,x2>1?x1x2>1?(0,1)?(1,+∞)
即|a|≤1
故a的取值范围是:[-1,1]
解析分析:(1)判断f(x)是否属于集合M,就看其是否满足条件,通过具体的反例可以直接判断出来.(2)g(x)属于M则满足不等式条件,通过解恒成立的不等式,进而求得a的范围.
点评:考查反例在证明问题中的重要作用,同时考查不等式恒成立问题的解法.
已知集合M是满足下列性质的所有函数f(x)组成的集合:对于函数f(x) 定义域内的任意两个不同自变量x1 x2 均有|f(x1)-f(x2)|≤|x1-x2|成立.(