如图1,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴分别交于A、B两点,与y轴交于点C.若tan∠ABC=3,一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为﹣8、2.
(1)求二次函数的解析式;
(2)直线l绕点A以AB为起始位置顺时针旋转到AC位置停止,l与线段BC交于点D,P是AD的中点.
①求点P的运动路程;
②如图2,过点D作DE垂直x轴于点E,作DF⊥AC所在直线于点F,连结PE、PF,在l运动过程中,∠EPF的大小是否改变?请说明理由;
(3)在(2)的条件下,连结EF,求△PEF周长的最小值.
考点分析:
二次函数综合题.
题干分析:
(1)利用tan∠ABC=3,得出C点坐标,再利用待定系数法求出二次函数解析式;
(2)①当l在AB位置时,P即为AB的中点H,当l运动到AC位置时,P即为AC中点K,则P的运动路程为△ABC的中位线HK,再利用勾股定理得出答案;
②首先利用等腰三角形的性质得出∠PAE=∠PEA=∠EPD/2,同理可得:∠PAF=∠PFA=∠DPF/2,进而求出∠EPF=∠EPD+∠FPD=2(∠PAE+∠PAF),即可得出答案;
(3)首先得出C△PEF=AD+EF,进而得出EG=3PE/5,EF=6PE/5=3AD/5,利用C△PEF=AD+EF=(1+3/5)AD=8AD/5,得出最小值即可.