典型例题分析1:
我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物面,经过锅心和盖心的纵断面是由两段抛物线组合而成的封闭图形,不妨简称为“锅线”.锅口直径为6dm,锅深3dm,锅盖高1dm(锅口直径与锅盖直径视为相同),建立直角坐标系如图1所示,如果把锅纵断面的抛物线记为C1,把锅盖纵断面的抛物线记为C2.
(1)求C1和C2的解析式;
(2)如图2,过点B作直线BE:y=x/3﹣1交C1于点E(﹣2,﹣5/3),连接OE、BC,在x轴上求一点P,使以点P、B、C为顶点的△PBC与△BOE相似,求出P点的坐标;
(3)如果(2)中的直线BE保持不变,抛物线C1或C2上是否存在一点Q,使得△EBQ的面积最大?若存在,求出Q的坐标和△EBQ面积的最大值;若不存在,请说明理由.
考点分析:
二次函数综合题.
题干分析:
(1)根据题意确定A、B、C、D的坐标,利用待定系数法即可解决问题;
(2)首先证明∠OBC=∠EOB,因此可能存在两种情形,设P(x,0),①当△PBC∽△OBE时,②当△PBC∽△EBO时,分别求解即可.
(3)要使△EBQ的面积最大,则点Q到直线BE的距离最大时,过点Q的直线与直线BE平行,且与抛物线只有一个交点.①如图1中,当点Q在C1上时,设与抛物线只有一个交点的直线为y=x/3+b,则点Q(x,x/3+b),代入y=x2/3﹣3,得到x2/3﹣3=x/3+b,整理得x2﹣x﹣9﹣3b=0,由△=0,可得1﹣4(﹣9﹣3b)=0,推出b=﹣37/12,可得y=x/3﹣37/12,由,求出Q的坐标即可解决问题.②如图2中,当Q在C2上时,同法可求.
典型例题分析2:
如图,在平面直角坐标系中,O为原点,平行四边形ABCD的边BC在x轴上,D点在y轴上,C点坐标为(2,0),BC=6,∠BCD=60°,点E是AB上一点,AE=3EB,⊙P过D,O,C三点,抛物线y=ax2+bx+c过点D,B,C三点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)说明ED是⊙P的切线,若将△ADE绕点D逆时针旋转90°,E点的对应点E′会落在抛物线上吗?请说明理由;
(3)若点M为此抛物线的顶点,平面上是否存在点N,使得以点B,D,M,N为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请直接写出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
考点分析:
二次函数综合题.
题干分析:
(1)解直角三角形得到D(0,2√3),设抛物线的解析式为y=(x+4)(x﹣2),把D(0,2√3)即可得到结论;
(2)根据平行四边形的性质得到AB=CD=4,AB∥CD,∠A=∠BCD=60°,AD=BC=6,根据相似三角形的性质得到∠ADE=∠CDO,于是得到CD为⊙P的直径,根据切线的判定定理得到ED是⊙P的切线;E点的对应点E′不会落在抛物线上,根据相似三角形的想知道的DE=3√3,根据旋转的想知道的E点的对应点在射线DC上,而点D,C在抛物线上,于是得到点E′不能在抛物线上;
(3)根据二次函数的解析式得到M(﹣1,9√3/4),由B(﹣4,0),D(0,2√3),当BM为平行四边形BDMN的对角线时,当DM为平行四边形BDMN的对角线时,当BD为平行四边形BDMN的对角线时,根据平移的性质即可得到结论.